分位点回帰プロセス
条件付き分布にわたって傾きがどう変化するかを、単一の OLS 推定値と比較します。
OLS が推定する傾きは1つだけで、条件付き 平均 に対する効果です。分位点回帰は条件付き分位点 τ ごとに傾きを推定するため、説明変数が分布を単にずらすだけでなく、引き伸ばしているかどうかを確認できます。濃い線は τ = 0.05 … 0.95 における分位点回帰係数とその 95% 信頼帯で、オレンジの線と破線は OLS の推定値とその 95% 信頼区間です（構成上、一定です）。左のパネルには、データといくつかの当てはめた分位点回帰直線を示しています。
データは statsmodels に同梱されている、エンゲル（1857）によるベルギーの労働者世帯 235 世帯の家計調査（sm.datasets.engel）です。モデルは smf.quantreg().fit(q=τ) と smf.ols() で当てはめています。
コードおよび図中のテキストは英語です。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
# Data: Engel food expenditure vs household income (Belgian francs)
df = sm.datasets.engel.load_pandas().data
quantiles = np.arange(0.05, 0.96, 0.05)
# Fit one quantile regression per τ and keep slope + 95% CI
rows = []
for q in quantiles:
fit = smf.quantreg("foodexp ~ income", df).fit(q=q)
lo, hi = fit.conf_int().loc["income"]
rows.append((q, fit.params["Intercept"], fit.params["income"], lo, hi))
qr = np.array(rows)
ols = smf.ols("foodexp ~ income", df).fit()
ols_lo, ols_hi = ols.conf_int().loc["income"]
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5), gridspec_kw=dict(width_ratios=[1, 1.25]))
# Left: data with selected quantile lines and the OLS line
ax1.scatter(df.income, df.foodexp, s=14, color="#8E8E93", alpha=0.5, lw=0)
x = np.linspace(df.income.min(), df.income.max(), 50)
for q, a, s_, *_ in qr[[0, 4, 9, 14, 18]]:
ax1.plot(x, a + s_ * x, color="#007AFF", lw=1.2, alpha=0.4 + 0.6 * (q == 0.5))
ax1.text(x[-1] * 1.01, a + s_ * x[-1], f"τ = {q:.2f}", fontsize=8.5, color="#007AFF", va="center")
ax1.plot(x, ols.params["Intercept"] + ols.params["income"] * x, color="#FF9500", lw=2, ls="--")
ax1.set_xlim(right=x[-1] * 1.17)
ax1.set_xlabel("Household income")
ax1.set_ylabel("Food expenditure")
ax1.set_title("Quantile lines fan out", fontsize=12)
# Right: slope estimates across τ vs the OLS slope
ax2.fill_between(qr[:, 0], qr[:, 3], qr[:, 4], color="#007AFF", alpha=0.15, lw=0)
ax2.plot(qr[:, 0], qr[:, 2], "o-", color="#007AFF", ms=5, mec="white", mew=1, label="Quantile regression (95% CI)")
ax2.axhline(ols.params["income"], color="#FF9500", lw=2, label="OLS (95% CI)")
for v in (ols_lo, ols_hi):
ax2.axhline(v, color="#FF9500", lw=1, ls="--")
ax2.set_xticks(np.arange(0.1, 1.0, 0.1))
ax2.set_xlabel("Quantile τ of food expenditure")
ax2.set_ylabel("Slope: extra food spending per franc of income")
ax2.legend(loc="upper left")
ax2.set_title("Income slope by quantile", fontsize=12)
slope = dict(zip(np.round(qr[:, 0], 2), qr[:, 2]))
fig.text(0.01, 1.07, "Income raises food spending most for the biggest spenders",
fontsize=15, fontweight="semibold", va="bottom")
fig.text(0.01, 1.02, f"Engel data · n = {len(df)} · income slope at τ = .10: {slope[0.1]:.2f}, "
f"τ = .50: {slope[0.5]:.2f}, τ = .90: {slope[0.9]:.2f} · OLS: {ols.params['income']:.2f} "
f"[{ols_lo:.2f}, {ols_hi:.2f}]", fontsize=9.5, color="#6E6E73", va="bottom")
plt.show()
図にはオプションの PyStatlas スタイル を使用しています。同じ見た目にするには plt.style.use("pystatlas.mplstyle") を追加してください。
データの出典
- Engel's Belgian household budgets (235 families). Koenker, R., & Bassett, G. (1982). Robust tests for heteroscedasticity based on regression quantiles. Econometrica, 50(1), 43–61. https://doi.org/10.2307/1912528
Engel's (1857) household budget data as used by Koenker and Bassett and distributed with R's quantreg; in statsmodels as sm.datasets.engel; public domain.
これらの例は統計手法を説明するためのものです。図のタイトルは、この特定のデータ（多くは小規模で、古く、部分的な標本）で図が示す内容を述べたものであり、実質的な問いに対する著者の立場ではありません。解釈、背景、データの質については、ここに挙げた元の出典を参照してください。
引用方法
PyStatlas は Thierry Warin が作成・運営しています。研究や業務に役立った場合は、ぜひ引用してください。
Warin, T. (2026). Quantile regression process. In PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences. https://warint.github.io/pystatlas/regression-models/quantile-regression/
@misc{warin2026statlas,
author = {Warin, Thierry},
title = {PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences},
year = {2026},
howpublished = {\url{https://warint.github.io/pystatlas/}},
note = {Source code: https://github.com/warint/pystatlas}
}
