Effets d'interaction
Pentes simples à la moyenne ± 1 écart type et graphique de Johnson–Neyman pour les cours préparatoires et les résultats en mathématiques, modérés par la pauvreté des élèves.
Un terme d'interaction signifie que la pente d'un prédicteur dépend d'un autre. Le panneau de gauche trace cette pente pour trois valeurs du modérateur — sa moyenne et ±1 écart type — chacune avec une bande de confiance à 95 %. Le panneau de droite offre la vue de Johnson–Neyman : l'effet marginal du prédicteur focal, β₁ + β₃·modérateur, sur toute l'étendue du modérateur, avec son IC à 95 %. Là où la bande exclut zéro, l'effet est significatif ; le point de bascule est le point de Johnson–Neyman.
Les données sont les 303 districts scolaires californiens du test STAR98 fournis avec statsmodels (sm.datasets.star98). La variable expliquée est la part d'élèves au-dessus de la médiane nationale en mathématiques (%) ; le prédicteur focal est la part d'élèves en cours préparatoires à l'université (UC/CSU) et le modérateur la part d'élèves à faible revenu, dans smf.ols("math ~ prep * lowinc"). Les cours préparatoires vont de pair avec de meilleurs résultats en mathématiques dans les districts plus aisés, mais l'association s'estompe à mesure que la pauvreté augmente — et ne devient significativement négative que dans les deux districts les plus pauvres, d'où un second point de Johnson–Neyman à l'extrême droite. La variance de l'effet marginal est calculée à la main à partir de cov_params() : Var(β₁) + 2m·Cov(β₁, β₃) + m²·Var(β₃).
Le code et le texte à l'intérieur des figures sont en anglais.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
from scipy import stats
# Data: math results, college-prep enrolment and low-income pupils in 303 California districts
raw = sm.datasets.star98.load_pandas().data
df = pd.DataFrame({"math": 100 * raw.NABOVE / (raw.NABOVE + raw.NBELOW),
"prep": raw.PCTAF, "lowinc": raw.LOWINC})
model = smf.ols("math ~ prep * lowinc", data=df).fit()
b, V = model.params, model.cov_params()
t_crit = stats.t.ppf(0.975, model.df_resid)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))
# Left: simple slopes of college prep at low income = mean − 1 SD, mean, mean + 1 SD
ax1.scatter(df.prep, df.math, s=12, color="#C7C7CC", alpha=0.6, lw=0)
prep = np.linspace(df.prep.min(), df.prep.max(), 100)
m, s = df.lowinc.mean(), df.lowinc.std()
for low, lab, c in [(m - s, "−1 SD", "#5AC8FA"), (m, "Mean", "#007AFF"), (m + s, "+1 SD", "#AF52DE")]:
pred = model.get_prediction(pd.DataFrame({"prep": prep, "lowinc": low})).summary_frame()
ax1.fill_between(prep, pred.mean_ci_lower, pred.mean_ci_upper, color=c, alpha=0.15, lw=0)
ax1.plot(prep, pred["mean"], color=c, lw=2.2,
label=f"{lab} ({low:.0f}%): slope {b['prep'] + b['prep:lowinc'] * low:+.2f}")
ax1.legend(title="Low-income pupils", loc="upper left", alignment="left")
ax1.set_ylim(0, 115)
ax1.set_xlabel("Pupils in college-prep courses (%)")
ax1.set_ylabel("Pupils above national median in math (%)")
ax1.set_title("Simple slopes of college prep at three poverty levels", fontsize=12)
# Right: Johnson–Neyman — marginal effect of college prep across low income, with 95% CI
lowinc = np.linspace(df.lowinc.min(), df.lowinc.max(), 400)
eff = b["prep"] + b["prep:lowinc"] * lowinc
se = np.sqrt(V.loc["prep", "prep"] + 2 * lowinc * V.loc["prep", "prep:lowinc"]
+ lowinc**2 * V.loc["prep:lowinc", "prep:lowinc"])
lo, hi = eff - t_crit * se, eff + t_crit * se
sig = (lo > 0) | (hi < 0)
ax2.axhline(0, color="#8E8E93", lw=1, ls="--")
ax2.fill_between(lowinc, lo, hi, where=sig, color="#007AFF", alpha=0.18, lw=0, label="p < .05")
ax2.fill_between(lowinc, lo, hi, where=~sig, color="#AEAEB2", alpha=0.3, lw=0, label="n.s.")
ax2.plot(lowinc, eff, color="#1D1D1F", lw=2)
jns = lowinc[1:][np.diff(sig.astype(int)) != 0] # where significance switches
for jn in jns:
ax2.axvline(jn, color="#007AFF", lw=1, ls=":")
ax2.annotate(f"Johnson–Neyman point\n{jn:.0f}% low-income", (jn, 0.97), xytext=(-8, 0),
xycoords=ax2.get_xaxis_transform(), textcoords="offset points",
fontsize=9.5, color="#007AFF", va="top", ha="right")
# Rug of the observed moderator values
ax2.plot(df.lowinc, np.full(len(df), 0.015), "|", ms=7, color="#8E8E93", alpha=0.4,
transform=ax2.get_xaxis_transform())
share = (df.lowinc < jns[0]).mean()
ax2.legend(loc="lower left", bbox_to_anchor=(0, 0.06))
ax2.set_xlabel("Low-income pupils (moderator, %)")
ax2.set_ylabel("Math points per +1 point of college prep")
ax2.set_title(f"Significantly positive below {jns[0]:.0f}% low-income ({share:.0%} of districts)", fontsize=12)
# Figure title and statistical subtitle above both panels
p_int = model.pvalues["prep:lowinc"]
p_txt = "p < .001" if p_int < 0.001 else f"p = {p_int:.3f}"
fig.text(0.01, 1.07, "College-prep courses go with better math results, but not in poorer districts",
fontsize=15, fontweight="semibold", va="bottom")
fig.text(0.01, 1.02, f"OLS · n = {int(model.nobs)} districts · college prep × low income: β = {b['prep:lowinc']:.4f}, "
f"t({model.df_resid:.0f}) = {model.tvalues['prep:lowinc']:.2f}, "
f"{p_txt} · R² = {model.rsquared:.2f} · bands = 95% CI",
fontsize=9.5, color="#6E6E73", va="bottom")
plt.show()
Les figures utilisent le style PyStatlas (facultatif) : ajoutez plt.style.use("pystatlas.mplstyle") pour obtenir exactement le même rendu.
Source des données
- California STAR test results, 1998 (303 school districts). Gill, J. (2001). Generalized Linear Models: A Unified Approach (Quantitative Applications in the Social Sciences, No. 134). Sage. https://www.statsmodels.org/stable/datasets/generated/star98.html
Original data from the California Department of Education's Standardized Testing and Reporting (STAR) program, 1998. Subset distributed with statsmodels (sm.datasets.star98) with the author's permission.
Les exemples illustrent des méthodes statistiques. Leurs titres décrivent ce que chaque figure montre dans ces données précises — souvent un échantillon restreint, daté ou partiel —, et non la position de l'auteur sur la question de fond. Pour l'interprétation, le contexte et la qualité des données, reportez-vous aux sources originales citées ici.
Comment citer
PyStatlas est créé et maintenu par Thierry Warin. S'il vous a été utile dans vos travaux, merci de le citer.
Warin, T. (2026). Interaction effects. In PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences. https://warint.github.io/pystatlas/regression-models/interaction-effects/
@misc{warin2026statlas,
author = {Warin, Thierry},
title = {PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences},
year = {2026},
howpublished = {\url{https://warint.github.io/pystatlas/}},
note = {Source code: https://github.com/warint/pystatlas}
}Plus dans Modèles de régression
Graphique des coefficients
Estimations de régression avec intervalles de confiance à 95 %, une ligne par terme.
ggstats::ggcoef_model()
Graphique en forêt des rapports de cotes
Rapports de cotes d'une régression logistique sur échelle logarithmique, accompagnés d'un tableau RC [IC à 95 %].
ggstats::ggcoef_model(exponentiate = TRUE)
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Coefficients de trois régressions emboîtées des résultats en mathématiques des districts, côte à côte, pour voir comment les estimations bougent à mesure que des blocs sont ajoutés.
ggstats::ggcoef_compare()