PyStatlas
ギャラリー/多変量解析とクラスタリング

PCA バイプロット

米国の州とその社会指標を第 1・第 2 主成分の平面に配置します。

著者： Thierry Warin · 収録： PyStatlas

PCA バイプロット

バイプロットは、同じ主成分平面に 2 つの要素を重ねて描きます。スコア（観測ごとに 1 点、グループ別に色分けし、グループごとに 68% の正規楕円を付与）と負荷量（変数ごとに 1 本の矢印）です。同じ方向を向く矢印どうしは正の相関があり、長い矢印は表示中の 2 成分に強く寄与します。各グループは、値が高い変数の側に位置します。

データは statsmodels の statecrime データセット（2009 年の数値）に含まれる米国 50 州とコロンビア特別区です。人口 10 万人あたりの暴力犯罪率と殺人率、高校卒業者の割合、貧困線以下の割合、ひとり親世帯の割合、白人の割合、都市人口の割合を用います。州は国勢調査局の地域区分で色分けし、最も極端な 6 州に名前を付けています。変数を標準化したうえで、sklearn.decomposition.PCA がスコア、負荷量、各軸に示す分散の割合を求めます。

コードおよび図中のテキストは英語です。

pca-biplot.py · 67 行
ダウンロード GitHub 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from matplotlib.patches import Ellipse
from scipy import stats
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# Data: 7 social indicators of 51 US states (incl. DC), standardised
df = sm.datasets.statecrime.load_pandas().data
states = df.index.str.strip()
X = StandardScaler().fit_transform(df)
regions = {"Northeast": ["Connecticut", "Maine", "Massachusetts", "New Hampshire", "New Jersey",
                         "New York", "Pennsylvania", "Rhode Island", "Vermont"],
           "Midwest": ["Illinois", "Indiana", "Iowa", "Kansas", "Michigan", "Minnesota", "Missouri",
                       "Nebraska", "North Dakota", "Ohio", "South Dakota", "Wisconsin"],
           "West": ["Alaska", "Arizona", "California", "Colorado", "Hawaii", "Idaho", "Montana",
                    "Nevada", "New Mexico", "Oregon", "Utah", "Washington", "Wyoming"]}
groups = np.array([next((r for r, s in regions.items() if st in s), "South") for st in states])
names = ["violent crime", "murder", "high-school grad.", "poverty", "single parent",
         "white", "urban"]

pca = PCA(n_components=2).fit(X)
scores = pca.transform(X)
loadings = pca.components_.T * np.sqrt(pca.explained_variance_)  # variable–PC correlations
var = pca.explained_variance_ratio_ * 100

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6.4))
ax.axhline(0, color="#C7C7CC", lw=0.8); ax.axvline(0, color="#C7C7CC", lw=0.8)
r68 = np.sqrt(stats.chi2.ppf(0.68, df=2))
for g, c in zip(["Northeast", "Midwest", "South", "West"], ["#007AFF", "#FF9500", "#FF3B30", "#34C759"]):
    s = scores[groups == g]
    ax.scatter(*s.T, s=26, color=c, alpha=0.6, lw=0, label=f"{g} (n = {len(s)})")
    # 68% normal-theory ellipse from the group covariance
    vals, vecs = np.linalg.eigh(np.cov(s.T))
    angle = np.degrees(np.arctan2(vecs[1, 1], vecs[0, 1]))
    ax.add_patch(Ellipse(s.mean(0), *(2 * r68 * np.sqrt(vals[::-1])), angle=angle,
                         facecolor=c, alpha=0.12, edgecolor=c, lw=1.2))

# Name the six states farthest from the centre
for i in np.argsort(-np.hypot(*scores.T))[:6]:
    ax.annotate(states[i], scores[i], xytext=(0, -6), textcoords="offset points", fontsize=8.5,
                color="#6E6E73", ha="center", va="top")

# Loading arrows, scaled to the narrower side of the score cloud
scale = 0.85 * np.abs(scores).max(axis=0).min() / np.abs(loadings).max()
for (x, y), name in zip(loadings * scale, names):
    ax.annotate("", (x, y), (0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#3A3A3C",
                                                    lw=1, mutation_scale=9))
    u = np.array([x, y]) / np.hypot(x, y)  # label just beyond the arrow tip
    dx, dy = 6 * u
    ax.annotate(name, (x, y), xytext=(dx, dy), textcoords="offset points", fontsize=8.5,
                color="#1D1D1F", ha="left" if u[0] > 0.3 else "right" if u[0] < -0.3 else "center",
                va="bottom" if u[1] > 0.3 else "top" if u[1] < -0.3 else "center",
                bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.12", fc="white", ec="none", alpha=0.8))

ax.set_xlabel(f"PC1 ({var[0]:.1f}% of variance)")
ax.set_ylabel(f"PC2 ({var[1]:.1f}% of variance)")
ax.grid(False)
ax.set_aspect("equal", adjustable="datalim")
ax.legend(loc="lower left", markerscale=1.5, handletextpad=0.3)
ax.set_title(f"Crime and single parenthood rise together along PC1 ({var[0]:.0f}% of variance)",
             pad=26)
ax.text(0, 1.02, f"PCA on {X.shape[1]} standardised indicators · n = {len(X)} (50 states + DC) · "
        f"PC1 + PC2 = {var.sum():.1f}% of variance · ellipses: 68% normal", transform=ax.transAxes,
        fontsize=9.5, color="#6E6E73")
plt.show()

図にはオプションの PyStatlas スタイル を使用しています。同じ見た目にするには plt.style.use("pystatlas.mplstyle") を追加してください。

データの出典

  • US state crime and social indicators, 2009. U.S. Census Bureau. Statistical Abstract of the United States, state tables for 2009 (crime rates from the FBI Uniform Crime Reporting program). https://www.statsmodels.org/stable/datasets/generated/statecrime.html
    Compiled for statsmodels (sm.datasets.statecrime); public domain. See the statsmodels page for each variable's table and footnotes.

これらの例は統計手法を説明するためのものです。図のタイトルは、この特定のデータ（多くは小規模で、古く、部分的な標本）で図が示す内容を述べたものであり、実質的な問いに対する著者の立場ではありません。解釈、背景、データの質については、ここに挙げた元の出典を参照してください。

引用方法

PyStatlas は Thierry Warin が作成・運営しています。研究や業務に役立った場合は、ぜひ引用してください。

Warin, T. (2026). PCA biplot. In PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences. https://warint.github.io/pystatlas/multivariate/pca-biplot/

@misc{warin2026statlas,
  author       = {Warin, Thierry},
  title        = {PyStatlas: A Python Gallery of Statistical Graphics for the Social Sciences},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://warint.github.io/pystatlas/}},
  note         = {Source code: https://github.com/warint/pystatlas}
}

多変量解析とクラスタリングのその他のグラフ

スクリープロット
多変量解析とクラスタリング

スクリープロット

カリフォルニア州の 303 学区を記述するには何次元が必要か？成分ごとの分散と平行分析による基準。

factoextra::fviz_eig()
k-means のシルエットプロット
多変量解析とクラスタリング

k-means のシルエットプロット

米国の州ははっきり異なる社会的プロファイルに分かれるか？k-means のクラスターとシルエット幅。

factoextra::fviz_silhouette()
クラスター化ヒートマップ
多変量解析とクラスタリング

クラスター化ヒートマップ

米国各州の社会指標の z スコアのヒートマップ。行と列のデンドログラム、国勢調査地域のカラーバー付き。

pheatmap::pheatmap() / ComplexHeatmap::Heatmap()